2.矩阵基础——行列式¶

行列式是一个由 \(n\) 行 \(n\) 列个数组成的数阵。习惯上记作 \(\mathbf{D}\) 。

以下是一个简单的行列式的写法

\[ \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{matrix} \right| \]

更一般的行列式，可以写作这样

\[ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right| \]

其中，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数记作 \(a_{ij}\) 。

本质¶

行列式的本质其实是一个数或者叫运算式，行列式记录了如何计算这个数。

行列式的重要概念——余子式¶

当我们讨论一个行列式的 余子式 时，我们是对这个行列式的某行某列的具体元素讨论的。即只有当我们指定某行某列元素（\(a_{ij}\)）时，才有余子式这个概念。

习惯上，对于行列式 \(\mathbf{D}\) 的 \(a_{ij}\) ，将其余子式记作 \(\mathbf{M_{ij}}\) 。对于上述的行列式，其余子式 \(\mathbf{M_{ij}}\) 是这样的，将 \(\mathbf{D}\) 中与 \(a_{ij}\) 同行或同列的元素删去，剩余的元素组成的行列式即 \(\mathbf{M_{ij}}\) 。

即

\[ \mathbf{M_{ij}} = \left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 \, j-1} & a_{1 \, j+1} \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 \, j-1} & a_{2 \, j+1} \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i-1 \, 1} & a_{i-1 \, 2} & \cdots & a_{i-1 \, j-1} & a_{i-1 \, j+1} \cdots & a_{i-1 \, n} \\ a_{i+1 \, 1} & a_{i+1 \, 2} & \cdots & a_{i+1 \, j-1} & a_{i+1 \, j+1} \cdots & a_{i+1 \, n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{n \, j-1} & a_{n \, j+1} \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix}\right| \]

代数余子式¶

代数余子式是用于展开和计算行列式的重要概念。

代数余子式是这样定义的：对于给定行列式 \(\mathbf{D}\) 的 \(a_{ij}\) ，其代数余子式的计算公式如下：

\[ \mathbf{A}_{ij} = {(-1)}^{i+j} \mathbf{M}_{ij} \]

计算¶

行列式的计算如下：

\[ \mathbf{D} = \sum_{i=1, j=1}^{n,n}{a_{ij} A_{ij}}\]

行列式的转置¶

转置的定义为将行列式元素的位置行列颠倒，也就是第 \(n\) 行 \(m\) 列的元素在行列式转置后会在第 \(m\) 行 \(n\) 列。

在行列式右上角写上一个 \(\text{T}\) 用来表示转置操作。

性质¶

行列式有许多性质。

\(\mathbf{D} = \mathbf{D}^{T}\)
行列式的某两行或某两列交换，行列式的结果变（正负）号
行列式 \(\mathbf{D}\) 某行整体乘以一个数 \(k\)，结果等于 \(k\mathbf{D}\)
根据 性质3 ，行列式具有可拆性。即可以将一个行列式拆成两个相加。