3.矩阵¶
所谓矩阵就是多个数组成的阵列。这里主要讨论二维矩阵，也就是由 \(n\) 行 \(m\) 列组成的数字阵列，如下是一个两行三列的矩阵：
关于矩阵¶
矩阵的本质 ： 线性变换
矩阵的运算 ： 加法、数乘、矩阵相乘
1.矩阵的加法：加法的前提是两矩阵行列各相等，矩阵的加法运算即对应行列上的数字相加。如：
2.矩阵的数乘：所谓数乘，即一个数乘以一个矩阵。运算时将矩阵所有元素都乘以相同的数，如：
3.矩阵相乘：即两个矩阵的乘法。矩阵相乘在线性代数中是一个重要的运算，定义大致如下：
若有两个矩阵，分别记为 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) ，若矩阵 \(\mathbf{A}\) 有 \(n\) 行 \(m\) 列，矩阵 \(\mathbf{B}\) 有 \(m\) 行 \(n\) 列，则两矩阵可相乘，且仅能 以 \(\mathbf{AB}\) 形式相乘，即 \(\mathbf{A}\) 左乘 \(\mathbf{B}\)。
记运算结果为 \(\mathbf{C}\) ，即 \(\mathbf{AB} = \mathbf{C}\) 。 矩阵 \(\mathbf{C}\) 的各元素结果如下：
若记矩阵 \(\mathbf{A}\) \(\mathbf{B}\) \(\mathbf{C}\) 的第 \(i\) 行 \(j\) 列元素分别为 \(a_{ij}\) \(b_{ij}\) \(c_{ij}\) ，则 $c_{ij} = \sum^{m}{p=1}{a{ip} b_{pj}} $
例：
4.矩阵的转置：矩阵转置的定义为矩阵元素的行列位置互换，记 原来的 \(a_{ij}\) 在矩阵转置后变成 \(a_{ji}\) 。在矩阵右上角写一个 \(\text{T}\) 来表示转置操作
5.矩阵的行列式：当矩阵为方阵时（即行数与列数相同），存在**矩阵的行列式**这一概念，即与矩阵元素相同的行列式。矩阵的行列式在几何中具有具体的意义，这将在矩阵的几何意义中讨论。
矩阵行列式的记法： \(\det{\mathbf{A}}\) 或 \(|\mathbf{A}|\) 。
矩阵行列式的运算性质：
1. \(|\mathbf{A}^\text{T}| = |\mathbf{A}|\)
2. \(|\lambda \mathbf{A}| = \lambda^n |\mathbf{A}|\) ( \(n\) 为方阵行（列）数目)
3. \(|\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}|\cdot|\mathbf{B}|\)
矩阵的几何意义¶
单位矩阵¶
在讨论几何意义之前，我们还需要知道一个概念——单位（矩）阵。
单位矩阵：若矩阵 \(\mathbf{A}\) 为单位矩阵，则对于其元素 \(a_{ij}\) ，当 \(i=j\) 时， \(a_{ij} = 1\) ；反之， \(a_{ij} = 0\) 。
一般将单位阵记作 \(\mathbf{E}\) 。下面就是一个3行3列的单位矩阵.
向量¶
**向量**可以看作是一种特别的矩阵。即只有一行或者一列的矩阵。
我们将只有一行的矩阵称作 行向量；同理，将只有一列的矩阵称作 列向量。
列向量与方阵的运算¶
当一个列向量与方阵运算时，对于一个比较特殊的情况——单位阵乘以列向量，其运算结果如下：
对于中间的表达式，如果以加号为分隔，竖向来看，每一列都是一个坐标（\(x\)或\(y\)或\(z\)）乘分别乘以三个数。
让我们回想三维空间中坐标的三个数的意义——即这个点相对于原点在三个方向上的偏移量，或正或负。现在，矩阵左乘向量就有些眉目了——似乎是沿着某三个向量各偏移 \(x\) 、 \(y\) 、 \(z\) 个单位距离。
接下来，让我们将例子普遍些，下面是一个一般方阵乘以向量
现在我们看得更清楚了些，这个方阵左乘向量的运算结果也是一个向量，或者一个坐标。这个向量标明，向量由原点指向某个点，且这个点相对原点的偏移是这样的：
沿着向量 \((1\,, 4\,, 7)\) 偏移 \(x\) 个单位，沿着向量 \((2\,, 5\,, 8)\) 偏移 \(y\) 个单位，沿着向量 \((3\,, 6\,, 9)\) 偏移 \(z\) 个单位